Text Box: http://matematica.noads.biz

 

Soluţii

Subiectul 1

1..

2. deci funcţia este impară.

3.Ecuaţia ataşată inecuaţiei date este:

     care are rădăcinile şi .

    Se face tabelul cu semnul funcţiei de gradul doi şi se obţine soluţia .

4.25 de numere sunt divizibile cu 4

   20 de numere sunt divizibile cu 5

   5 de numere sunt divizibile cu 4 şi 5

   Deci 40 numere sunt divizibile cu 4 sau cu 5.

5.Fie .

    Avem

    şi

    MNPQ este paralelogram şi  

    Punctul căutat este .

6.Semiperimetrul triunghiului ABC este .

    Aria triunghiului ABC se calculează cu formula lui Heron:

   

    .

 

 

Soluţii

Subiectul 2

1.a)  rang

    rang.

b) Determinantul caracteristic este:

    dc=, sistemul este compatibil simplu nedeterminat.

    Luăm .

   

    Solutia sistemului este: .Sistemul este compatibil simplu nedeterminat.

c) , deci sistemul are 9 solutii in multimea

2.a) iar deci .

    Rezultă că mulţimea A are 25 de elemente.

b)

     care are o soluţie  şi  deci putem lua de exemplu .

c)Dacă  atunci

    Cazul 1.Dacă atunci deci obţinem matricele

    Cazul 2.Dacă atunci şi mai obţinem matricele .

    In total ecuaţia  are 4 soluţii scrise mai sus. 

 

 

Soluţii

Subiectul 3

1.a)Căutăm asimptotă orizontală:

     deci graficul funcţiei are asimpotă orizontală spre  de ecuaţie 

    .

   Observaţie:Dacă graficul are asimptotă orizontală spre atunci nu mai are asimptotă oblică spre .

b)

    deci funcţia este strict crescătoare pe intervalele şi .

c)

   

 

   

    Tabelul cu semnul derivatei a doua este:

 

 

                                            

 

 

   

 

 

   Din tabelul de variaţie rezultă că funcţia f are un singur punct de inflexiune şi anume x= .

2.

    .

a)

       este strict crescător.

 

b)  deoarece şirul este crescător.

 

, deci sirul  este mărginit.

 

c)