Rezolvarea subiectului 3 varianta 8 matematica M2 bacalaureat

Rezolvare Subiectul 3 Varianta 8 matematica M2

Enunturile subiectului 3 din varianta 8 sunt aici
Exercitiul 1
a)Pentru a calcula limita ceruta vom inlocui pe x cu 1 in functia data(prin inlocuire se obtine o operatie cu sens):

$\mathop{\lim}\limits_{x \to \1}f(x)=\mathop{\lim}\limits_{x \to \1}\frac{1+lnx}{1-lnx}=1.$

Am mai tinut cont aici de faptul ca $ln 1=0$

b)Pentru derivarea functiei f se foloseste regula de derivare a unei fractii:
Fie $x\in\left ( 0,\infty \right ) - \left \{ e \right \}.$ Avem:
$regula de derivare a unei fractii$
$=\frac{\left \frac{1}{x}(1-lnx)+\frac{1}{x}(1+lnx)} {\left ( 1-lnx \right )^{2}\right}=\frac{2}{x\left ( 1-lnx \right )^{2}}.$

c)Pentru a afla ecuatia asimptotei orizontale la graficul unei functii catre infinit se calculeaza
$\mathop{\lim}\limits_{x \to + \infty}f(x)=\mathop{\lim}\limits_{x \to + \infty}\frac{1+lnx}{1-lnx}=\left ( \frac{\infty}{\infty} \right )=\mathop{\lim}\limits_{x \to + \infty}\frac{(1+lnx)'}{(1-lnx)'}=\left ( \frac{\infty}{\infty} \right )$

$=\mathop{\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x}}=-1,$

y=-1 (ecuatia asimptotei orizontale) este asimptota orizontala catre plus infinit.
Pentru calculul limitei de mai sus s-a folosit regula lui l Hospital.

Exercitiul 2
a)Multimea primitivelor functiei f+g este
$\int\left ( f+g \right ) \left ( x \right )dx=\int\left f \right \left ( x \right )dx+\int\left g \right \left ( x \right )dx=$
$=\int e^{x}dx+\int\frac{1}{x}dx=e^{x}+lnx+C.$

b)Pentru a calcula integrala definita data procedam astfel:
$\int_{1}^{2}\left ( f^{2}\left ( x \right ) +g^{2}\left ( x \right \right ))dx=\int_{1}^{2}f^{2}\left ( x \right )dx+\int_{1}^{2}g^{2}\left ( x \right )dx=$

$=\left.\begin{matrix} \left ( \frac{e^{2x}}{2}-\frac{1}{x}\right ) \end{matrix}\right|_1^2=\frac{e^{4}-e^{2}+1}{2}.$

c)Fie $x\in\left [ 1,2 \right ].$ In inegalitatea data in enunt $2ab\leq a^{2}+b^{2}$ inlocuim $a=e^{x}$ si $fractie$
si rezulta:
$\int_{1}^{2}e^{x}\cdot\frac{1}{x}dx \le\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \left ( e^{2x}+\frac{1}{x^{2}} \right )dx=$

$fractie"$