Legi de compozitie pe o multime

Definitie:
Fie M o multime nevida.
O functie se numeste lege de compozitie (operatie algebrica) pe multimea M.

---

Elementul se numeste compusul lui x cu y prin legea de compozitie.
Pentru legile de compozitie se folosesc diferite notatii cum ar fi: etc.
Exemple:
1)Operatia de adunare a numerelor reale este lege de compozitie pe multimea numerelor reale R.

---

2)Operatia de inmultire a numerelor reale este lege de compozitie pe multimea numerelor reale R.

---

3)Operatia de adunare a matricelor patratice de ordinul doi este lege de compozitie pe multimea .

---

4)Operatia este lege de compozitie pe multimea numerelor reale R.

Proprietati ale legilor de compozitie

Asociativitatea
Legea de compozitie * se numeste asociativa pe multimea M daca: Comutativitatea
Legea de compozitie * se numeste comutativa pe multimea M daca: Element neutru
Legea de compozitie * admite element neutru pe multimea M daca exista astfel incat: Elemente simetrizabile
Un element se numeste simetrizabil in raport cu legea de compozitie * daca exista x' in M astfel incat:

Grupuri

Definitie:
Fie G o multime nevida pe care s-a dat o lege de compozitie *.
Spunem ca perechea formeaza o structura algebrica de grup daca sunt indeplinite conditiile:
G1)Legea * este asociativa;
G2)Legea * are element neutru;
G3)Orice element din G este simetrizabil in raport cu legea *;

---

Conditiile G1,G2,G3 se numesc axiomele grupului.
In plus daca este indeplinita si axioma G4 se spune ca grupul este comutativ sau abelian. G4)Legea * este comutativa.

---