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Titularizare matematica 2010--
Subiectul 2 ex.1
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enunturile matematica ale subiectelor date la "Concursul national de ocupare a posturilor didactice declarate vacante/rezervate in invatamantul preuniversitar 14 iulie 2010"
Subiectul 2-Exercitiul 1-titularizare matematica 2010
Enunt:
![Rezolvare subiecte titularizare matematica 2010](images/ex3.png)
Rezolvare:
a)
Calculam matricele
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?A^2)
si
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?A^3)
.
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?A^2=A \cdot A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0&1 &1 \\ 0&0 &1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0&1 &1 \\ 0&0 &1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0&1 &2 \\ 0&0 &1 \end{pmatrix})
Obs.Pentru calculul matricelor
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?A^2)
si
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?A^3)
, prin barem , se dadeau 2 puncte.
Mai departe avem :
![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?=O_3)
ceea ce trebuia demonstrat.
b)Descompunem matricea A intr-o suma de doua matrice astfel;
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?A=\begin{pmatrix} 1 &1 &0 \\ 0 &1 &1 \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0 &1 &0 \\ 0 & 0 &1 \\ 0 &0 &0 \end{pmatrix}=I_3+B)
Deoarece
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?I_3 \cdot B=B \cdot I_3=B)
putem calcula
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left ( I_3+B \right )^n)
cu binomul lui Newton.
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?A^n=\left ( I_3+B \right )^n=C_n^0I_3+C_n^1B+C_n^2B^2+C_n^3B^3+...+C_n^nB^n)
Calculam matricele
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?B^2,B^3,...,B^n)
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?B^2=B \cdot B=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 &0 &1 \\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 &0 &1 \\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 &0 &0 \\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix})
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?B^3=B^2 \cdot B =\begin{pmatrix} 0 & 0 &1 \\ 0 &0 &0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 &0 \\ 0 &0 &1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 0 &0 \\ 0 &0 &0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} =O_3)
Evident ca
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?B^k=O_3)
pentru
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\forall k \geq 3)
Acum se poate calcula matricea
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?A^n)
astfel:
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?A^n=\begin{pmatrix} 1 & 0& 0\\ 0 &1 &0 \\ 0 & 0 &1 \end{pmatrix}+n \cdot \begin{pmatrix} 0 &1 &0 \\ 0 &0 & 1\\ 0 &0 &0 \end{pmatrix}+\frac{n\left ( n-1 \right )}{2} \cdot \begin{pmatrix} 0 &0 &1 \\ 0 &0 & 0\\ 0 &0 & 0 \end{pmatrix}=)
Vezi
baremul de corectare si notare pentru examenul de titularizare la matematica din 14 iulie 2010.