Titularizare matematica 2010 subiecte rezolvate

Va aflati aici:
Acasa--Profesori--Titularizare matematica 2010--Subiectul 2 ex.1

Vezi enunturile matematica ale subiectelor date la "Concursul national de ocupare a posturilor didactice declarate vacante/rezervate in invatamantul preuniversitar 14 iulie 2010"

Subiectul 2-Exercitiul 1-titularizare matematica 2010
Enunt:

Rezolvare:

a) Calculam matricele $A^2$ si $A^3$ .
$A^2=A \cdot A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0&1 &1 \\ 0&0 &1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0&1 &1 \\ 0&0 &1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0&1 &2 \\ 0&0 &1 \end{pmatrix}$
$A^3=A^2 \cdot A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0&1 &2 \\ 0&0 &1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0&1 &1 \\ 0&0 &1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3\\ 0&1 &3 \\ 0&0 &1 \end{pmatrix}$

Obs.Pentru calculul matricelor $A^2$ si $A^3$ , prin barem , se dadeau 2 puncte.
Mai departe avem :
$A^3-3A^2+3A-I_3=\begin{pmatrix} 1 &3 &3 \\ 0 & 1 &3 \\ 0 &0 & 1 \end{pmatrix}-3 \begin{pmatrix} 1 &2 &1 \\ 0 & 1 &2 \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix}+3\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 &1 &1 \\ 0 & 0 &1 \end{pmatrix}-\\ -\begin{pmatrix} 1&0 &0 \\0 & 1&0 \\0 &0 &1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &3 &3 \\ 0 & 1 &3 \\ 0 &0 & 1 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 3 &6 &3 \\ 0 & 3 &6 \\ 0 &0 &3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3 & 3 & 0\\ 0 &3 &3 \\ 0 & 0 &3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1&0 &0 \\0 & 1&0 \\0 &0 &1 \end{pmatrix}=$ $=O_3$
ceea ce trebuia demonstrat.
b)Descompunem matricea A intr-o suma de doua matrice astfel;
$A=\begin{pmatrix} 1 &1 &0 \\ 0 &1 &1 \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0 &1 &0 \\ 0 & 0 &1 \\ 0 &0 &0 \end{pmatrix}=I_3+B$
Deoarece $I_3 \cdot B=B \cdot I_3=B$ putem calcula $\left ( I_3+B \right )^n$ cu binomul lui Newton.
$A^n=\left ( I_3+B \right )^n=C_n^0I_3+C_n^1B+C_n^2B^2+C_n^3B^3+...+C_n^nB^n$
Calculam matricele $B^2,B^3,...,B^n$
$B^2=B \cdot B=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 &0 &1 \\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 &0 &1 \\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 &0 &0 \\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix}$
$B^3=B^2 \cdot B =\begin{pmatrix} 0 & 0 &1 \\ 0 &0 &0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 &0 \\ 0 &0 &1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 0 &0 \\ 0 &0 &0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} =O_3$
Evident ca $B^k=O_3$ pentru $\forall k \geq 3$
Acum se poate calcula matricea $A^n$ astfel:
$A^n=\begin{pmatrix} 1 & 0& 0\\ 0 &1 &0 \\ 0 & 0 &1 \end{pmatrix}+n \cdot \begin{pmatrix} 0 &1 &0 \\ 0 &0 & 1\\ 0 &0 &0 \end{pmatrix}+\frac{n\left ( n-1 \right )}{2} \cdot \begin{pmatrix} 0 &0 &1 \\ 0 &0 & 0\\ 0 &0 & 0 \end{pmatrix}=$
$=\begin{pmatrix} 1 &n &\frac{n\left ( n-1 \right )}{2} \\ 0&1 &n \\ 0 & 0 &1 \end{pmatrix}, \forall n \geq 3$
Vezi baremul de corectare si notare pentru examenul de titularizare la matematica din 14 iulie 2010.

Vezi celelalte comentarii (0)

Propune un material nou in format pdf sau doc pe site

Adauga un comentariu
Nume:
Comentariu:
Verificare antispam:

Titularizare matematica 2010

Subiectul 2-Exercitiul 1-titularizare matematica 2010 Enunt: Rezolvare:

Subiectul 2-Exercitiul 1-titularizare matematica 2010
Enunt:

Rezolvare: