Va aflati aici:
Acasa--
Profesori--
Titularizare matematica 2010--
Subiectul 2 ex.3
Vezi
enunturile matematica ale subiectelor date la "Concursul national de ocupare a posturilor didactice declarate vacante/rezervate in invatamantul preuniversitar 14 iulie 2010"
Subiectul 2-Exercitiul 3-titularizare matematica 2010
Enunt:
![Rezolvare subiecte titularizare matematica 2010](images/ex5.png)
Rezolvare:
a)Calculam derivata functiei f
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?=\frac{1-1-x+x+x^2}{1+x}=\frac{x^2}{1+x},\forall x\geq 0)
Observam ca
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?f'\left ( x \right )\geq0,\forall x \geq0)
si
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?f'\left ( x \right )=0 \Leftrightarrow x=0)
deci functia este strict crescatoare pe
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?[0,+\infty))
Tabelul de variatie al functiei este:
![](images/tabel.png)
Din tabelul de variatie rezulta ca functia f are un singur punct de extrem local x=0 (punct de minim local).
b)Cautam
asimptote orizontale
deci graficul functiei nu are asimptota orizontala la plus infinit.
Asimptote oblice ![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?m=\underset{x \to +\infty }{lim}\frac{f\left ( x \right )}{x}=\underset{x \to +\infty }{lim}\left [ \frac{ln\left ( 1+x \right )}{x} -1+\frac{1}{2}x\right ]=0-1+\infty=+\infty)
deci graficul functiei nu are asimptota oblica.
Deoarece functia data este continua pe intervalul
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left[0,+\infty \right ))
rezulta ca graficul nu are asimptota verticala.
c)Din tabelul de variatie al functiei f facut la punctul a) rezulta ca functia
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?f\left ( x \right )>0,\forall x>0 \Leftrightarrow)
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Leftrightarrow ln\left ( 1+x \right )-x+\frac{1}{2}x^2>0,\forall x>0\Leftrightarrow x-\frac{1}{x^2}<ln\left ( 1+x \right ),\forall x>0)
deci prima parte a inegalitatii din enunt este demonstrata.
Pentru a demonstra a doua parte a inegalitatii consideram functia
Calculam derivata functiei g:
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?g'\left ( x \right )=\frac{1}{1+x}-1=\frac{1-1-x}{1+x}=\frac{-x}{1+x}\leq 0,\forall x\geq 0)
Observam ca
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?g'\left ( x \right )\leq 0,\forall x \geq 0)
si
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?g'\left ( x \right )= 0\Leftrightarrow x = 0)
deci functia g este strict descrescatoare pe domeniul de definitie
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Rightarrow g\left ( x \right )<g\left ( 0 \right )=0,\forall x>0 \Rightarrow ln \left ( 1+x \right )-x<0,\forall x>0)
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Rightarrow ln\left ( 1+x \right )<x,\forall x>0)
deci si a doua parte a inegalitatii din enunt este demonstrata.
d)In inegalitatea de la punctul c) dam lui x valorile
![titularizare matematica 2010}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{1}{n^2},\frac{2}{n^2},...,\frac{n}{n^2})
si adunam inegalitatile obtinute:
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{1+2+...+n}{n^2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1^2+2^2+...+n^2}{n^4}<\\<ln\left ( 1+\frac{1}{n^2} \right )\cdot \left ( 1+\frac{2}{n^2} \right )\cdot ...\cdot \left ( 1+\frac{n}{n^2} \right ) <\frac{1+2+...+n}{n^2})
ceea ce este echivelant cu
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\underset{tinde \; la \; \frac{1}{2}}{\underbrace{\frac{n+1}{2n}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\left ( n+1 \right )\left ( 2n+1 \right )}{6n^3}}}{ } < ln\left ( 1+\frac{1}{n^2} \right )\cdot \left ( 1+\frac{2}{n^2} \right )\cdot...\cdot\left ( 1+\frac{n}{n^2} \right )<\\ <\underset{tinde \; la \; \frac{1}{2}}{\underbrace{\frac{n+1}{2n}}})
si folosind criteriul clestelui rezulta ca limita ceruta in exercitiu este egala cu
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{1}{2})
Vezi
baremul de corectare si notare pentru examenul de titularizare la matematica din 14 iulie 2010.
Vezi
baremul de corectare si notare pentru examenul de titularizare la matematica din 14 iulie 2010.