Subiecte rezolvate examenul national de titularizare matematica 14 iulie 2010

Va aflati aici:
Acasa--Profesori--Titularizare matematica 2010--Subiectul 1 ex.1

Vezi enunturile matematica ale subiectelor date la "Concursul national de ocupare a posturilor didactice declarate vacante/rezervate in invatamantul preuniversitar 14 iulie 2010"

Subiectul 1-Exercitiul 1-titularizare matematica 2010
Enunt:

Rezolvare:

a)Fie A={1,4,6}
$1+1=2\notin A \\ 4+4=8\notin A \\ 6+6=12\notin A \\ 1+4=5\notin A \\ 1+6=7\notin A \\ 4+6=10\notin A \\$
rezulta ca multimea A are proprietatea (p).
Fie B={1,3,6}
$3+3=6\in B$ deci multimea B nu are proprietatea (p).
b)Exemplul 1
Fie multimea C={1,3,5,...,2009} care are 1005 elemente si care este inclusa in multimea data in enunt.
Suma oricaror doua elemente din C,nu neaparat distincte,este numar par deci nu apartine multimii C.
In concluzie,multimea C are proprietatea (p).
Exemplul 2
Fie multimea D={1006,1007,...,2010} care are 1005 elemente si este inclusa in multimea data in enunt.
Pentru oricare doua elemente x,y din D nu neaparat distincte,avem $x+y\geq 2012\notin D$ .
In concluzie multimea D nu are proprietatea (p).
c)Fie $X\subset B,X\neq \varnothing$ o multime care nu are proprietatea (p).
Rezulta ca $\exists x,y\in X$ nu neaparat distincte,astfel incat $x+y\in X$ .
Din $x+y\in X \Rightarrow x+y\leq 8$
Din $x,y \in X\Rightarrow x,y\geq 4 \Rightarrow x+y \geq 8$
Din cele doua relatii de mai sus obtinem $x+y=8 \in X$ si cum x,y sunt din multimea $X \subset B$ rezulta ca x=4 si $y=4 \in X$
Concluzie {4,8} $\subset X$ .
Asadar avem $2^3=8$ multimi nevide care nu au proprietatea (p).
Multimea B={4,5,6,7,8} are in total $2^5-1=32$ submultimi nevide si cum am stabilit mai sus ca 8 submultimi nu au proprietatea (p) rezulta ca restul de 31-8=23 submultimi nevide au proprietatea (p).
d)Fie $A=\left \{ a_1,a_2,...,a_k \right \}\subset\left \{ 1,2,3,...,2010 \right \}$ o multime care are proprietatea (p).Putem presupune $a_1<a_2<...<a_k$
Notam $X=\left \{ a_2-a_1,a_3-a_1,...,a_k-a_1 \right \}$
Cum $1\leq a_2-a_1<a_3-a_1<...<a_k-a_1<2010$ rezulta
$X\subset\left \{ 1,2,3,...,2010 \right \}$ si X are k-1 elemente.
Sa observam ca multimile A si X sunt disjuncte.
Intr-adevar sa presupunem prin reducere la absurd ca multimile A si X ar avea un element comun.
Rezulta ca $\exists i\in \left \{ 2,3,...k \right \}$ si $j\in \left \{1,2,3,...k \right \}$ astfel incat
$a_i-a_1=a_j \in A \Rightarrow a_i=a_1+a_j \in A$ ceea ce este o contradictie deoarece multimea A are proprietatea (p).
Deci $X\cap A=\varnothing$ .
Multimea A are k elemente.
Multimea X are k-1 elemente.
$A \cup X \subset\left \{ 1,2,3,...,2010 \right \}$ deci $\textup{Card}\left ( A\cup X \right )\leq 2010$ .
Folosim egalitatea

$\textup{Card}\left ( A\cup X \right )=\textup{Card}A+\textup{Card}X-\textup{Card}\left ( A\cap X \right )$

si obtinem
$k+k-1-0 \leq 2010 \Rightarrow 2k-1 \leq 2010 \Rightarrow 2k \leq 2011 \Rightarrow k \leq 1005$
c.c.t.d.
Vezi baremul de corectare si notare pentru examenul de titularizare la matematica din 14 iulie 2010.

Nu exista comentarii ...

Propune un material nou in format pdf sau doc pe site

Adauga un comentariu
Nume:
Comentariu:
Verificare antispam:

Titularizare matematica 2010

Subiectul 1-Exercitiul 1-titularizare matematica 2010 Enunt: Rezolvare:

Subiectul 1-Exercitiul 1-titularizare matematica 2010
Enunt:

Rezolvare: