Va aflati aici:
Acasa--
Profesori--
Titularizare matematica 2010--
Subiectul 1 ex.1
Vezi
enunturile matematica ale subiectelor date la "Concursul national de ocupare a posturilor didactice declarate vacante/rezervate in invatamantul preuniversitar 14 iulie 2010"
Subiectul 1-Exercitiul 1-titularizare matematica 2010
Enunt:
Rezolvare:
a)Fie A={1,4,6}
![multimea A are proprietatea (p)](http://latex.codecogs.com/gif.latex?1+1=2\notin A \\ 4+4=8\notin A \\ 6+6=12\notin A \\ 1+4=5\notin A \\ 1+6=7\notin A \\ 4+6=10\notin A \\)
rezulta ca multimea A are proprietatea (p).
Fie B={1,3,6}
![Multimea B nu are proprietatea (p)](http://latex.codecogs.com/gif.latex?3+3=6\in B)
deci multimea B nu are proprietatea (p).
b)Exemplul 1Fie multimea C={1,3,5,...,2009} care are 1005 elemente si care este inclusa in multimea data in enunt.
Suma oricaror doua elemente din C,nu neaparat distincte,este numar par deci nu apartine multimii C.
In concluzie,multimea C are proprietatea (p).
Exemplul 2Fie multimea D={1006,1007,...,2010} care are 1005 elemente si este inclusa in multimea data in enunt.
Pentru oricare doua elemente x,y din D nu neaparat distincte,avem
![Multimea D nu are proprietatea (p)](http://latex.codecogs.com/gif.latex?x+y\geq 2012\notin D)
.
In concluzie multimea D nu are proprietatea (p).
c)Fie
![multimea X](http://latex.codecogs.com/gif.latex?X\subset B,X\neq \varnothing)
o multime care nu are proprietatea (p).
Rezulta ca
![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\exists x,y\in X)
nu neaparat distincte,astfel incat
![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?x+y\in X)
.
Din
![ex 1 titularizare 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?x+y\in X \Rightarrow x+y\leq 8)
Din
![titularizare 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?x,y \in X\Rightarrow x,y\geq 4 \Rightarrow x+y \geq 8)
Din cele doua relatii de mai sus obtinem
![titularizare 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?x+y=8 \in X)
si cum x,y sunt din multimea
![multimi](http://latex.codecogs.com/gif.latex?X \subset B)
rezulta ca x=4 si
![titularizare 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?y=4 \in X)
Concluzie {4,8}
![titularizare 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\subset X)
.
Asadar avem
![titularizare 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?2^3=8)
multimi nevide care nu au proprietatea (p).
Multimea B={4,5,6,7,8} are in total
![titularizare 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?2^5-1=32)
submultimi nevide si cum am stabilit mai sus ca 8 submultimi nu au proprietatea (p) rezulta ca restul de 31-8=23 submultimi nevide au proprietatea (p).
d)Fie
![titularizare 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?A=\left \{ a_1,a_2,...,a_k \right \}\subset\left \{ 1,2,3,...,2010 \right \})
o multime care are proprietatea (p).Putem presupune
![titularizare 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?a_1<a_2<...<a_k)
Notam
![titularizare 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?X=\left \{ a_2-a_1,a_3-a_1,...,a_k-a_1 \right \})
Cum
![titularizare 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?1\leq a_2-a_1<a_3-a_1<...<a_k-a_1<2010)
rezulta
![titularizare matematica 2010}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?X\subset\left \{ 1,2,3,...,2010 \right \})
si X are k-1 elemente.
Sa observam ca multimile A si X sunt disjuncte.
Intr-adevar sa presupunem prin reducere la absurd ca multimile A si X ar avea un element comun.
Rezulta ca
![titularizare mate 2010}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\exists i\in \left \{ 2,3,...k \right \})
si
![titularizare mate 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?j\in \left \{1,2,3,...k \right \})
astfel incat
![titularizare mate 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?a_i-a_1=a_j \in A \Rightarrow a_i=a_1+a_j \in A)
ceea ce este o contradictie deoarece multimea A are proprietatea (p).
Deci
![titularizare mate 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?X\cap A=\varnothing)
.
Multimea A are k elemente.
Multimea X are k-1 elemente.
![titularizare mate 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?A \cup X \subset\left \{ 1,2,3,...,2010 \right \})
deci
![titularizare mate 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\textup{Card}\left ( A\cup X \right )\leq 2010)
.
Folosim egalitatea
si obtinem
c.c.t.d.
Vezi
baremul de corectare si notare pentru examenul de titularizare la matematica din 14 iulie 2010.
Nu exista comentarii ...