Legi de compozitie pe o multime
Definitie:
Fie M o multime nevida.
O functie

se numeste lege de compozitie (operatie algebrica) pe multimea M.
Elementul

se numeste compusul lui x cu y prin legea de compozitie.
Pentru legile de compozitie se folosesc diferite notatii cum ar fi:

etc.
Exemple:
1)Operatia de adunare a numerelor reale este lege de compozitie pe multimea numerelor reale
R.

2)Operatia de inmultire a numerelor reale este lege de compozitie pe multimea numerelor reale
R.

3)Operatia de adunare a matricelor patratice de ordinul doi este lege de compozitie pe multimea

.

4)Operatia

este lege de compozitie pe multimea numerelor reale
R.
Proprietati ale legilor de compozitie
Asociativitatea
Legea de compozitie * se numeste asociativa pe multimea M daca:
Comutativitatea
Legea de compozitie * se numeste comutativa pe multimea M daca:
Element neutru
Legea de compozitie * admite element neutru pe multimea M daca exista

astfel incat:
Elemente simetrizabile
Un element

se numeste simetrizabil in raport cu legea de compozitie * daca exista x' in M astfel incat:
Grupuri
Definitie:
Fie G o multime nevida pe care s-a dat o lege de compozitie *.
Spunem ca perechea

formeaza o structura algebrica de grup daca sunt indeplinite conditiile:
G1)Legea * este asociativa;
G2)Legea * are element neutru;
G3)Orice element din G este simetrizabil in raport cu legea *;
Conditiile G1,G2,G3 se numesc axiomele grupului.
In plus daca este indeplinita si axioma G4 se spune ca grupul

este comutativ sau abelian.
G4)Legea * este comutativa.