Va aflati aici:
Acasa--
Profesori--
Titularizare matematica 2010--
Subiectul 1 ex.2
Vezi
enunturile matematica ale subiectelor date la "Concursul national de ocupare a posturilor didactice declarate vacante/rezervate in invatamantul preuniversitar 14 iulie 2010"
Subiectul 1-Exercitiul 2-titularizare matematica 2010
Enunt:
Rezolvare:
a)
![formula aria triunghiului](http://latex.codecogs.com/gif.latex?Aria(\Delta ABC)=\frac{AB\cdot dist(C,AB)}{2}=\frac{AC\cdot dist(B,AC)}{2})
b)Cum punctele
![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?O_1,O_2,...,O_{100})
sunt oricare trei necoliniare rezulta ca oricare trei din acestea formeaza un triunghi.
Numarul triunghiurilor care au varfurile in multimea M este egal cu numarul tripletelor (neordonate) de puncte din M.
In concluzie numarul triunghiurilor este
c)Fie d dreapta care intersecteaza cercurile
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?C_1,C_2,C_3)
conform ipotezei.
Alegem un reper cartezian in care axa Ox este dreapta d.
In acest reper avem
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?O_1(x_1,y_1),O_2(x_2,y_2),O_3(x_3,y_3).)
Cum distantele de la punctele
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?O_1,O_2,O_3)
la axa Ox sunt cel mult 1 rezulta ca
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\begin{vmatrix} y_1 \end{vmatrix} \leq1, \begin{vmatrix} y_2 \end{vmatrix} \leq1, \begin{vmatrix} y_3 \end{vmatrix} \leq1.)
Fara a restrange generalitatea putem presupune ca
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_1 \leq x_2 \leq x_3)
.
Obtinem:
Retinem ca
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?Aria\left ( \Delta O_1O_2O_3 \right )=\frac{O_1O_3 \cdot \cdot h_{O_2} }{2}=\frac{1}{2} \cdot \left | \Delta \right | \leq \frac{1}{2} \cdot2O_1O_3=O_1O_3)
Rezulta:
ceea ce trebuia demonstrat.
d)Alegem cea mai mare distanta
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?O_iO_j ,i,j\in\left \{ 1,2,...,100 \right \})
Fie aceasta
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?O_1O_{100})
.
Daca
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?i \in \left \{ 2,3,...,99 \right \})
atunci triunghiul
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?O_1O_i O_{100})
are o inaltime cel mult 2 (conform pct.b)).
In triunghiul
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?O_1O_i O_{100})
avem
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?O_1O_i \leq O_1O_{100})
si
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?O_iO_{100} \leq O_1O_{100})
deci conform punctului a) cea mai mica inaltime a triunghiului
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?O_1O_iO_{100})
este inaltimea dusa din
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?O_i})
.
Demonstram ca inaltimea dusa din
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?O_i)
in
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Delta O_1O_iO_{100})
este mai mica sau egala cu 2.
Intr-adevar daca presupunem,prin reducere la absurd,ca inaltimea din
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?O_i)
este mai mare ca 2 , atunci toate inaltimile triunghiului vor fi mai mari strict decat 2 , contradictie cu punctul b).
Mai departe deducem ca dreapta
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?O_1O_{100})
intersecteaza cercul
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?D_i,i \in \left \{ 2,3,...,99 \right \})
.
Cum dreapta
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?O_1O_{100})
intersecteaza si cercurile
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?D_1)
si
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?D_{100})
rezulta ca dreapta
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?O_1O_{100})
intersecteaza toate cercurile
![<img src=](http://latex.codecogs.com/gif.latex?D_1,D_2,...,D_{100})
ceea ce trebuia demonstrat.
Vezi
baremul de corectare si notare pentru examenul de titularizare la matematica din 14 iulie 2010.