Titularizare matematica 2010 subiecte rezolvate

Va aflati aici:
Acasa--Profesori--Titularizare matematica 2010--Subiectul 2 ex.2

Vezi enunturile matematica ale subiectelor date la "Concursul national de ocupare a posturilor didactice declarate vacante/rezervate in invatamantul preuniversitar 14 iulie 2010"

Subiectul 2-Exercitiul 2-titularizare matematica 2010
Enunt:

Rezolvare:

a)Asociativitatea

$\left ( x\perp y \right )\perp z=x\perp\left ( y\perp z \right ), \forall x,y,z \in G$

$\left ( x\perp y \right )\perp z=\left ( x^{lny} \right )\perp z=\left ( x^{lny} \right )^{lnz}=x^{lny \cdot lnz}$

$x \perp \left ( y \perp z\right )=x\perp\left ( y^{lnz} \right )=x^{ln\left ( y^{lnz} \right )}=x^{lnz \cdot lny}$

Din egalitatile de mai sus rezulta ca legea de compozitie date este asociativa.

Element neutru
Vom nota elementul neutru cautat cu a pentru a nu aparea o suprapunere de notatie ce poate duce la confuzie.

$x \perp a= a \perp x=x,\forall x \in G$

Obtinem:

$x ^{lna}=a^{lnx}=x, \forall x \in G$

Prin logaritmarea acestei relatii obtinem:

$lna \cdot lnx=lnx \cdot lna=lnx,\forall x \in G$

de unde $lna=1$ si deci elementul neutru este a=e (unde e este baza logaritmului natural e=2,7182...)
Obs:Daca notam initial elementul neutru cu e atunci s-ar fi obtinut aici e=e ceea ce putea crea confuzie.

Elemente simetrizabile
Trebuie sa demonstram ca:

$\forall x\in G ,\exists x' \in G$ astfel incat $x \perp x'=x' \perp x=e$

$x^{lnx'}=x'^{lnx}=e$

Prin logaritmare obtinem:

$ln x' \cdot lnx=ln x \cdot lnx'=1 \Rightarrow ln x'=\frac{1}{lnx}\Rightarrow x'=e^{\frac{1}{lnx}} \in G$

deci orice element din G este simetrizabil.
Comutativitatea

$x \perp y=y \perp x ,\forall x,y \in G$

$\Leftrightarrow x^{lny}=y^{lnx},\forall x,y \in G$

Prin logaritmare avem:

$\Leftrightarrow ln\left ( x^{lny} \right )=ln\left (y^{lnx} \right )\Leftrightarrow lny \cdot lnx=lnx \cdot lny$

Obs:Pentru fiecare din cele patru axiome ale grupului comutativ se dadea prin barem 1 punct.
b)Metoda 1
Trebuie gasita o functie bijectiva $f:G\rightarrow \mathbb{R}^*$ astfel incat

$f\left ( x \perp y \right )=f\left ( x \right )\cdot f\left ( y \right ),\forall x,y, \in G$

Luam $f:G\rightarrow \mathbb{R}^*$ prin formula $f\left ( x \right )=lnx$ care este bijectiva.

$f\left ( x \perp y \right )=f\left ( x^{lny} \right )=ln\left ( x^{lny} \right )=lnx \cdot lny=f\left ( x \right ) \cdot f\left ( y \right ),\forall x,y \in G$

deci f este izomorfism de grupuri.
Metoda 2
Luam functia $f: \mathbb{R}^* \to G$ prin formula $f\left ( x \right ) =e^x$ care este bijectiva.
$f\left ( x\cdot y \right )=e^{x \cdot y}\\ \\ f\left ( x \right )\perp f\left (y \right )=e^x \perp e^y=\left ( e^x \right )^{ln e^y}=\left ( e^x \right )^y=e^{x \cdot y}$
Din egalitatile de mai sus obtinem ca:

$f\left ( x \cdot y \right )=f\left ( x \right ) \perp f\left ( y \right ),\forall x,y \in \mathbb{R}^*$

deci f este izomorfism de grupuri.
Obs:In lucrare era suficienta numai una din metode.

Vezi baremul de corectare si notare pentru examenul de titularizare la matematica din 14 iulie 2010.

Vezi celelalte comentarii (0)

Propune un material nou in format pdf sau doc pe site

Adauga un comentariu
Nume:
Comentariu:
Verificare antispam:

Titularizare matematica 2010

Subiectul 2-Exercitiul 2-titularizare matematica 2010 Enunt: Rezolvare:

Subiectul 2-Exercitiul 2-titularizare matematica 2010
Enunt:

Rezolvare: