Va aflati aici:
Acasa--
Profesori--
Titularizare matematica 2010--
Subiectul 2 ex.2
Vezi
enunturile matematica ale subiectelor date la "Concursul national de ocupare a posturilor didactice declarate vacante/rezervate in invatamantul preuniversitar 14 iulie 2010"
Subiectul 2-Exercitiul 2-titularizare matematica 2010
Enunt:
![Rezolvare subiecte titularizare matematica 2010](images/ex4.png)
Rezolvare:
a)Asociativitatea
Din egalitatile de mai sus rezulta ca legea de compozitie date este asociativa.
Element neutru
Vom nota elementul neutru cautat cu a pentru a nu aparea o suprapunere de notatie ce poate duce la confuzie.
Obtinem:
Prin logaritmarea acestei relatii obtinem:
de unde
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?lna=1)
si deci elementul neutru este a=e (unde e este baza logaritmului natural e=2,7182...)
Obs:Daca notam initial elementul neutru cu e atunci s-ar fi obtinut aici e=e ceea ce putea crea confuzie.
Elemente simetrizabile
Trebuie sa demonstram ca:
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\forall x\in G ,\exists x' \in G)
astfel incat
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?x \perp x'=x' \perp x=e)
Prin logaritmare obtinem:
deci orice element din G este simetrizabil.
Comutativitatea
Prin logaritmare avem:
Obs:Pentru fiecare din cele patru axiome ale grupului comutativ se dadea prin barem 1 punct.
b)Metoda 1
Trebuie gasita o functie bijectiva
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?f:G\rightarrow \mathbb{R}^*)
astfel incat
Luam
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?f:G\rightarrow \mathbb{R}^*)
prin formula
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?f\left ( x \right )=lnx)
care este bijectiva.
deci f este izomorfism de grupuri.
Metoda 2
Luam functia
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?f: \mathbb{R}^* \to G)
prin formula
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?f\left ( x \right ) =e^x)
care este bijectiva.
![titularizare matematica 2010](http://latex.codecogs.com/gif.latex?f\left ( x\cdot y \right )=e^{x \cdot y}\\ \\ f\left ( x \right )\perp f\left (y \right )=e^x \perp e^y=\left ( e^x \right )^{ln e^y}=\left ( e^x \right )^y=e^{x \cdot y})
Din egalitatile de mai sus obtinem ca:
deci f este izomorfism de grupuri.
Obs:In lucrare era suficienta numai una din metode.
Vezi
baremul de corectare si notare pentru examenul de titularizare la matematica din 14 iulie 2010.